dimecres, 10 de desembre de 2008

NADAL I ELS FRACTALS

Els fractals són figures geomètriques que tenen autosimilitud, és a dir, que poden dividir-se en parts que són còpies reduïdes del total.

En el següent vídeo pots veure com es tracta no només d’estructures teòriques que trobam a matemàtiques, sinó que també podem trobar els fractals a la natura.



Com objectes matemàtics, podem trobar molta informació a la xarxa. Un dels enllaços a consultar és:

http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal

Un dels exemples més coneguts és l’anomenat “floquet de neu de von Kock”. El floc de neu de Kock, també anomenat estrella de Kock, és un conjunt geomètric i una de les primeres corbes fractals que es van descriure. Va aparèixer per primera vegada el 1904 i és una construcció obra del matemàtic suec Helge von Kock.

Consulta el següent enllaç i veuràs com construir-ne un:

http://weib.caib.es/Centres/tauler/fm0607/FMB0607_problema22on.pdf

Aquesta serà la tasca que haureu de fer per després poder decorar l’aula, ara que vénen aquests dies de Nadal.

Fixa’t en la següent animació per veure la construcció:




O en aquesta altra:



En el següent enllaç tens l’autosimilitud de la qual parlàvem al començament, en el floquet de neu de Kock:



A més, anem a fer unes poques matemàtiques a partir d’aquest fractal que acabam de veure. Ja has fet la construcció iterativa a partir d’un triangle equilàter. Ara volem calcular què passa amb el seu perímetre i la seva àrea. Sorprèn-te amb el resultat.

Activitat a fer: Suposa un triangle inicial de costat 1 unitat de longitud (per poder simplificar els càlculs!).

• Es tracta de calcular els perímetres de les diverses figures que es van obtenint. Recull els valors en una graella i comunica per escrit la relació entre els resultats que has obtingut (és cada vegada més gran el perímetre?, per què?, quina relació hi ha entre els valors?).

• Fes el mateix per a les àrees. Comunica els resultats per escrit una altra vegada (és cada vegada més gran?, quin seria el valor passades infinites iteracions?).

Fes un informe, amb l’editor de text, on detallis el procediment per construir el fractal anterior, els càlculs que fas per obtenir perímetres i àrees i la resposta als dos punts plantejats abans.


Un altre dels fractals que podem trobar és el triangle de Sierspinski. Consulta el següent enllaç i veuràs a què ens referim:

http://ca.wikipedia.org/wiki/Triangle_de_Sierpiński

Fixa't en la seqüència d'imatges per veure millor la seva construcció. Aquest cop partim d'un triangle equilàter, en el qual ens fixam en els punts mitjos dels costats i... fem més triangles equilàters, i... tornam a començar...



Fixa't que es poden construir figures com la següent, que podríem considerar gairebé en 2D:


I tant en un cas com en l'altre podem apreciar l'autosimilitud de la qual parlàvem quan hem introduit els fractals.

Però, a partir d'aquí anem a fer la segona part de la nostra decoració de Nadal. Passarem dels triangles de Sierspinski als tetraedres de Sierspinski. Fixa't:




No creus que podríem fer un arbre de Nadal que fos un fractal. Idò, endavant.

Es tracta de què us organitzeu en grups de 4 persones. Consultau el següent enllaç, en el qual trobareu la plantilla a utilitzar. Cada grup ha de construir un bloc de 16 tetraedres, que després unirem per tenir l'estructura global. Veuràs que cada figura no és exactament un tetraedre, ja que les cares no són triangles equilàters tots iguals, però és per poder donar més altura al nostre arbre i que tengui major efecte nadalenc.

http://www.toomates.net/llistes/geometria/figures_geometriques/fractals/arbre_nadal_tetraedre_sierpinski/arbre_nadal_tetraedre_sierpinski.htm

Es tracta de fer un treball en grup, en el qual el treball individual i en petit grup dóna lloc al producte final, en el qual cadascú ha posat el seu petit gra de fractalitat!. Ja tenim el nostre arbre de Nadal 2008!

I ja per acabar t'anim a que segueixis investigant sobre aquest món que són els fractals. Acabam amb un vídeo, igual que hem començat, però aquesta vegada una mica més allunyat de la natura.

I Bon Nadal a tothom!